Question

過(guò)橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內(nèi)的點(diǎn)P（1，2）作兩條互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為

（

16

25

，

18

25

）

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y-2=k（x-1），將其與橢圓消去y化簡(jiǎn)得（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系算出M（

16k(k-2)

9+16k2

，

-9k+18

9+16k2

），同樣理得出N（

16+32k

9k2+16

，

9k+18k2

9k2+16

），從而得到直線MN關(guān)于k為參數(shù)的兩點(diǎn)式方程．分別取k=1和k=-1，得到動(dòng)直線MN的兩個(gè)位置，記為l₁、l₂，因?yàn)橹本�MN恒過(guò)定點(diǎn)，所以l₁與l₂的交點(diǎn)即為MN恒過(guò)的定點(diǎn)，由此聯(lián)解直線l₁與l₂的方程組即可得到經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x-1），與橢圓消去y得
（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x_M，y_M）
∴x₁+x₂=

32k(k-2)

9+16k2

，可得x_M=

1

2

（x₁+x₂）=

16k(k-2)

9+16k2

代入直線AB方程，得y_M=

-9k+18

9+16k2

∴AB中點(diǎn)為M（

16k(k-2)

9+16k2

，

-9k+18

9+16k2

）
∵直線AB、CD互相垂直，∴用-

1

k

代替k，得CD中點(diǎn)為N（

16+32k

9k2+16

，

9k+18k2

9k2+16

）
因此，直線MN方程為

y- -9k+18 9+16k2

9k+18k2 9k2+16 - -9k+18 9+16k2

=

x- 16k(k-2) 9+16k2

16+32k 9k2+16 - 16k(k-2) 9+16k2

取k=1，得直線方程y-

9

25

=

9

32

(x+

16

25

)，記為l₁； 再k=-1，得直線方程y-

27

25

=

9

32

(x-

48

25

)，記為l₂．
∵隨著直線AB、CD運(yùn)動(dòng)，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)
∴直線l₁與l₂的交點(diǎn)即為MN恒過(guò)的定點(diǎn)，聯(lián)解

y- 9 25 = 9 32 (x+ 16 25 ) y- 27 25 = 9 32 (x- 48 25 )

，得

x= 16 25 y= 18 25

因此，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（

16

25

，

18

25

）
故答案為：（

16

25

，

18

25

）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，2）的兩條垂直的弦AB、CD，求由AB、CD中點(diǎn)確定的直線MN經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．