Question

已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）證明函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）求函數(shù)y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)圖象的左右位置由函數(shù)定義域決定，可求出其定義域說明；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）方程f（2x）=f^-1（x）的解即為公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出其縱坐標(biāo)．

解答：（1）證明：令a^x-1＞0，得a^x＞1，當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．
所以當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）．
故函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)．
（2）解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．下面證明之：
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）．
設(shè)x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)
=loga

ax1-1

ax2-1

，∵0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴

ax1-1

ax2-1

＞1，又0＜a＜1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
（3）f（2x）=loga(a2x-1)，f^-1（x）=loga(ax+1)，
令loga(a2x-1)=loga(ax+1)，得a^2x-1=a^x+1，即a^2x-a^x-2=0，
∴a^x=2或a^x=-1（舍），
∴x=log_a2，則f^-1（log_a2）=log_a3．
故函數(shù)y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（log_a2，log_a3）．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及反函數(shù)，準(zhǔn)確理解有關(guān)概念，掌握其常用方法是解決該類題目的基礎(chǔ)．體會(huì)函數(shù)與方程的思想．