Question

已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸，且（0，）是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)A（1，）在橢圓M上．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知直線l的斜率是，若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，代入A的坐標(biāo)，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線BC的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算弦長，求出點(diǎn)A到BC的距離，可得三角形的面積，利用基本不等式，即可求得最值．
解答：解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點(diǎn)為（0，），故設(shè)橢圓方程為．
將點(diǎn)A（1，）代入方程得，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求橢圓方程為
（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入橢圓方程并化簡得，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8①
由，
故|BC|==．
又點(diǎn)A到BC的距離為d=，
故S_△ABC==≤，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²=16-2m²，即m=±2時(shí)取等號（滿足①式）
所以△ABC面積的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．