Question

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點，設(shè)直線l過點C且垂直于矩形ABCD所在平面，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側(cè)．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設(shè)直線PF與平面PAB所成的角為θ，若45°＜θ≤60°，求線段CF長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得：BD⊥PE，PE⊥AB所以PE⊥平面ABCD．所以證明線面垂直一般是證明已知直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求出直線所在的向量與平面的法向量，結(jié)合向量的知識表示出向量的夾角，進(jìn)而表示出線面角，再求出線段CF長的取值范圍．

解答：解：（1）連接EC，∵

BE

BC

=

1

2

=

2

2

=

BC

CD

，∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，
∴∠ECB=∠BDC．
∴BD⊥CE．
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C，
∴BD⊥平面PEC．
∴BD⊥PE．
在正△PAB中，
∵E是AB的中點，
∴PE⊥AB．
又∵AB∩BD=B，
∴PE⊥平面ABCD．
（2）∵PE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，
∴PE∥CF．
∴CF∥平面PAB．
又∵CB⊥平面PAB．
∴點F到平面PAB的距離=點C到平面PAB的距離=

2

．
設(shè)CF=t．過F作FG⊥PE于G，則PF=

( 3 -t)2+3

．sinθ=

2

( 3 -t)2+3

．
∵45°＜θ≤60°，
∴

2

2

＜sinθ≤

3

2

．
∴

2

2

＜

2

( 3 -t)2+3

≤

3

2

．
解得

3

-1≤t＜

3

+1．
所以線段CF長的取值范圍為[

3

-1，

3

+1)．

點評：解決探索性問題與求長度問題最好的方法就是向量法，將其轉(zhuǎn)化為向量的基本運算，通過方程或不等式解決問題．