Question

（本小題滿分13分）已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.
（Ⅰ）寫出數(shù)列的“衍生數(shù)列”；
（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：；
（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)
列，，，…的首項取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.

Answer 1

（Ⅰ）解：.                     ………………3分
（Ⅱ）證明： 因為 ，
，
，
……
，
由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得
     即，.                                    ………………8分
（Ⅲ）證明：對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，
因為 ，
，
，
……
，
由于為奇數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，
相加得
     即.
設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，
因為 ，，
所以 ，  即成等差數(shù)列.      ………………12分
同理可證，也成等差數(shù)列.
從而是等差數(shù)列.            ………………13分

略