Question

（文科）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，則實數a=______．

Answer 1

∵f（x）是定義在R上的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
又f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的函數，又直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，其圖象如下：




當a=0時，直線y=x+a變?yōu)橹本�l₁，其方程為：y=x，顯然，l₁與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點；
當a≠0時，直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，由圖可知，直線y=x+a與函數y=f（x）相切，切點的橫坐標x₀∈[0，1]．
由

y=x+a y=x2

得：x²-x-a=0，由△=1+4a=0得a=-

1

4

，此時，x₀=x=

1

2

∈[0，1]．
綜上所述，a=-

1

4

或a=0．
故答案為：-

1

4

或a=0．