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        1. (理)函數(shù)y=f(x)圖象與h(x)=-x2+6x-8圖象關于點(1,0)對稱.
          ①求f(x)的表達式;
          ②設g(x)=f(x)-2x+|x+1-a|(a∈R),求g(x)的最小值.
          分析:①設(x,y)是y=f(x)上任意一點,q求出其關于(1,0)的對稱點,將對稱點的坐標代入h(x)=-x2+6x-8的解析式即得到f(x)的解析式.
          ②通過對x的討論將g(x)的解析式中的絕對值去掉,畫出相應的圖象,通過對a的分類討論求出g(x)的最小值.
          解答:解:①設(x,y)是y=f(x)上任意一點,則其關于(1,0)的對稱點為(2-x,-y),
          因為函數(shù)y=f(x)圖象與h(x)=-x2+6x-8圖象關于點(1,0)對稱,
          所以點(2-x,-y)應該在h(x)=-x2+6x-8的圖象上,
          所以-y=-(2-x)2+6(2-x)-8,
          整理得y=x 2+2x,
          所以f(x)=x2+2x,
          ②g(x)=f(x)-2x+|x+1-a|
          =x2+|x+1-a|
          =
          x2+x+1-a,(x≥a-1)
          x2-x+a-1,(x<a-1)

          結合圖象,
          當a-1≤-
          1
          2
          時即a
          1
          2
          時,
          當x=-
          1
          2
          時,函數(shù)g(x)有最小值
          3
          4
          -a

          當a-1
          1
          2
          時即a≥
          3
          2
          時,
          當x=
          1
          2
          時,函數(shù)g(x)有最小值為a-
          5
          4
          ;
          1
          2
          <a<
          3
          2
          時,當x=a-1時函數(shù)g(x)有最小值(a-1)2
          總之,g(x)的最小值為
          3
          4
          -a(a≤
          1
          2
          )
          (a-1)2(
          1
          2
          <a<
          3
          2
          )
          a-
          5
          4
          (a≥
          3
          2
          )
          點評:本題考查根據(jù)函數(shù)的性質求函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的最值應該先求出二次函數(shù)的對稱軸、考查分類討論的數(shù)學思想方法,是一道較難的題目.
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