Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②f（x）的表達(dá)式可改寫為f(x)=4cos(2x-

π

6

)；
③f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

6

，0)對(duì)稱；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱；
⑤f（x）在區(qū)間(-

π

3

，

π

12

)上是增函數(shù)；其中正確的是______．（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

∵f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)的周期為π，
當(dāng)x₁=-

π

6

，x₂=

π

3

時(shí)，f（x₁）=f（x₂）=0，x₁-x₂ =

π

2

≠kπ，k∈z，故①是錯(cuò)誤的．
∵由誘導(dǎo)公式可得f(x)=4sin(2x+

π

3

)=4cos（

π

2

-2x-

π

3

 ）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），故 ②正確．
∵當(dāng) x=-

π

6

 時(shí)，f（x）=0，故點(diǎn)(-

π

6

，0)是f（x）與x軸的交點(diǎn)，故是對(duì)稱點(diǎn)，故③正確．
∵當(dāng) x=

π

3

時(shí)，f(x)=4sin(2x+

π

3

)=0，不是f（x）的最值，故④是錯(cuò)誤的．
由   2kπ-

π

2

≤(2x+

π

3

)≤2kπ+

π

2

 得，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故⑤正確．
綜上，②③⑤正確，①④不正確，
答案為 ②③⑤．