Question

設實數a、b、c成等比數列，非零實數x、y分別為a與b，b與c的等差中項，求證：

a

x

+

c

y

=2．

Answer 1

分析：先由a，b，c三數成等比數列，利用等比數列的性質得到b²=ac，根據x，y分別為a，b和b，c的等差中項，利用等差數列的性質得到兩個關系式2x=a+b和2y=b+c，然后結合分析法整理即可得到結論．

解答：證明：因為a，b，c成等比數列
所以  b²=ac①
又x，y分別為a與b，b與c的等差中項
所以    2x=a+b，2y=b+c②
要證   

a

x

+

c

y

=2
只要證  ay+cx=2xy
只要證  2ay+2cx=4xy
由①②得   2ay+2cx=a（b+c）+c（a+b）=ab+2ac+bc；
而4xy=（a+b）（b+c）=ab+b²+ac+bc=ab+2ac+bc成立．
所以命題得證．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列及等比數列的性質進行證明以及分析法的應用，是一道中檔題．