Question

給出下列命題：
（1）“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件；
（2）“a=2”是“函數(shù)f（x）=|x-a|在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)”的充要條件；
（3）“m=3”是“直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0相互垂直”的充要條件；
（4）設(shè)a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a=1．b=

3

，則“A=30°”是“B=60°”的必要不充分條件．
其中真命題的序號(hào)是

（1）（4）

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：利用等比數(shù)列的定義以及充要條件的有關(guān)定義判斷出（1）對(duì)；通過(guò)舉反例判斷出（2）不對(duì)；通過(guò)舉反例說(shuō)明（3）不對(duì)；利用三角形的正弦定理以及有關(guān)的充要條件的定義判斷出（4）對(duì)．

解答：解：對(duì)于（1）若“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”，則

an+1

an

=q(常數(shù))
所以

an+1an+2

anan+1

=q2(常數(shù))，所以“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”．
反之，若“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”成立，例如數(shù)列1，3，2，6，4，12，8…滿足數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列，
但數(shù)列{a_n}不為等比數(shù)列
所以“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件；故（1）對(duì)；
對(duì)于（2），例如a=1時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)，所以）“a=2”不是“函數(shù)f（x）=|x-a|在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)”的充要條件，故（2）不對(duì)；
對(duì)于（3），當(dāng)m=0時(shí)，兩直線的方程分別為3x-2=0及-6y+5=0垂直，所以“m=3”不是“直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0相互垂直”的充要條件；故（3）不對(duì)；
對(duì)于（4），因?yàn)閍=1．b=

3

，若A=30°”成立，由正弦定理得

1

sin30°

=

3

sinB

，所以sinB=

3

2

，
所以B=60°或120°，
反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得

1

sinA

=

3

sin60°

得sinA=

1

2

，因?yàn)閍＜b，所以A=30°
所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分條件．故（4）對(duì)；
故答案為（1）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的有關(guān)定義、考查三角形中的正弦定理、兩直線垂直的充要條件，屬于中檔題．