Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率，且過點（0，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A、B，若，，求證：直線EA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）若直線l經過橢圓C的左焦點交橢圓C于P、Q兩點，O為坐標原點，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標準方程、離心率及參數(shù)a、b、c的關系即可得出；
（2）利用直線的點斜式、點在圓錐曲線上滿足的條件及雙曲線的意義即可證明；
（3）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系并利用已知條件即可得出．
解答：解：（1）依題意有：，又a²=c²+1，
解得：a=2，c=1，
故橢圓C的方程為：．
（2）依題意可設A（t，y），B（t，-y），K（x，y）．且有，
又，，
∴，由得：
代入即得，即為：，
所以直線EA與直線BD的交點K必在雙曲線上．
（3）（A）當直線l的斜率不存在時，，此時，不滿足要求；
（B）當直線l的斜率存在時設為k，則直線l為：y=k（x+1），代入得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由得：，
即：；
則：；
解得：k²=1⇒k=±1；
直線l過橢圓C的左焦點，故恒有兩個交點，則k=±1滿足要求，
故直線l的方程為：y=x+1或y=-x-1．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及性質、直線的點斜式、點在圓錐曲線上滿足的條件、直線與橢圓相交問題的解法、根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．