Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB⊥底面，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA。（1）求異面直線PA與CD所成的角；（2）求證：PC∥平面EBD；（3）求二面角A－BE－D的大小。

Answer 1

(Ⅰ) ∠PAF=60° (Ⅱ)   略  （3）

解析:

解法一：（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD

在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,

∴BD=，BC=6

取BC的中點F，連結(jié)AF，則AF∥CD，

∴PA與CD所成的角就是∠PAF   （4分）

連PF由題設(shè)易知AF=PF=PA=,

∴∠PAF=60°即為所求     （6分）

（2）連AC交BD于G，連EG，易知,

又∴，∴PC∥EG,又EG面EBD，∴PC∥面EBD  （10分）

（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB

作AH⊥BE于H，連DH，則DH⊥BE,   （12分）

在△AEB中，易求得BE=，

在△DAH中，∠

即所求二面角的大小為  （14分）

解法二：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

則A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），=∵，∴，即：3（3-）+9=0  （2分）

∴

∴

∴，即異面直線PA與CD所成的交為60°            （6分）

（2）設(shè)平面BED的法向量為  ∵

由得，∴       （12分）

又由（1）知，∴，∴PC∥面EBD  （10分）

（3）由（2）知

又平面ABE的法向量，

故所求二面角的大小為                                 （14分）