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          已知偶函數在區(qū)間上是增函數,且滿足,下列判斷中錯誤的是(     )

          A.

          B.函數上單調遞減 

          C.函數的圖像關于直線 對稱

          D.函數的周期是

           

          【答案】

            A

          【解析】

          試題分析:對于A,令x=0代入題中等式,得f(1-0)+f(1+0)=0,∴f(1)=0,結合函數為偶函數得f(-1)=f(1)=0,再令x=2代入題中等式,,得f(1-2)+f(1+2)=0,得f(3)=-f(-1)=0,結合函數為偶函數得f(-3)=f(3)=0,最后令x=4,f(1-4)+f(1+4)=0,得f(5)=-f(-3)=0,故A項正確;對于B,因為偶函數y=f(x)圖象關于y軸對稱,在區(qū)間[-1,0]上是增函數,所以y=f(x)在區(qū)間[0,1]上是減函數,設F(x)=f(1+x),得F(-x)=f(1-x),因為f(1-x)+f(1+x)=0,得f(1+x)=-f(1-x),所以F(x)=f(1+x)是奇函數,圖象關于原點對稱.由此可得y=f(x)圖象關于點(1,0)對稱.∵區(qū)間[1,2]和區(qū)間[0,1]是關于點(1,0)對稱的區(qū)間,且在對稱的區(qū)間上函數的單調性一致,∴函數f(x)在[1,2]上單調遞減,故B項正確;對于C,由B項的證明可知,y=f(x)圖象關于點(1,0)對稱,若f(x)的圖象同時關于直線 x=1對稱,則f(x)=0恒成立,這樣與“在區(qū)間[-1,0]上f(x)是增函數”矛盾,故C不正確;對于D,因為f(x)=f(1-(1-x))=-f(1+(1+x))=-f(x+2),所以f(x+2)=-f(x+4),可得f(x+4)=f(x),函數f(x)的周期是T=4,D項正確,故選C

          考點:本題考查了函數的性質

          點評:給出抽象函數,要我們在給出的幾條性質中找出錯誤的一項,著重考查了抽象函數的性質和函數單調性、奇偶性等知識,屬于中檔題

           

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          A.          B.           C.           D.

           

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          A.            B.         C.            D.

           

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          A.                    B.      

          C.                   D.

           

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          A.                   B.                                          

          C.            D.

           

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