Question

下列四個命題：
①函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)，x∈(0，π)的單調(diào)減區(qū)間是(

π

6

，

2π

3

)
②“a=1”是“直線x+ay-2=0和直線ax+y+2=0平行”的充要條件．
③若直線m⊥平面β，直線m∥平面α，則α⊥β．
④若函數(shù)f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)2kπ≤2x-

π

3

≤π+2kπ，可求出x的范圍，進而可驗證①對；根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得②對，再由立體幾何的知識知③對，對④中f（x）取特殊值f（x）=

1

x-1

驗證不對．

解答：解：令2kπ≤2x-

π

3

≤π+2kπ∴

π

6

+kπ ≤x≤

2π

3

+kπ，當k=0時

π

6

≤x≤

2π

3

，
故(

π

6

，

2π

3

)是函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)，x∈(0，π)的單調(diào)減區(qū)間，①正確；
當a=1時，直線x+y-2=0和直線x+y+2=0平行，故是充分條件，
當直線x+ay-2=0和直線ax+y+2=0平行時-

1

a

=-a∴a=1，所以是必要條件
∴“a=1”是“直線x+ay-2=0和直線ax+y+2=0平行”的充要條件，②正確
若直線m⊥平面β，直線m∥平面α，則α⊥β，正確③
不妨令f（x）=

1

x-1

，滿足在（-∞，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，但函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）不是單調(diào)函數(shù)．④不對
故答案為：①②③

點評：本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、直線相互平行的充要條件以及立體幾何的有關知識．題目不大但是涉及的知識面很廣，作對這樣的題要求同學們的基礎必須扎實．