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				設拋物線y2＝2px(p＞ 0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點.點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線 AC經(jīng)過原點O.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          思路解析：本題的解法很多，采用坐標方法進行代數(shù)推理，可以證明OA與OC的斜率相等，證明AO+OC=AC，證明OC與BF的交點A在拋物線上，證明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每種證明又有不同的表述形式，甚至可以用參數(shù)方程法，采用平面幾何方法進行推理.
          證法一：如圖所示，
          因為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F（，0），所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設為x=my+，代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0.
          若記A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個根，所以y1y2=-p2.
          因為BC∥x軸，且點C在準線x=-上，所以點C的坐標為（-，y2）.
          故直線CO的斜率為
          k===,
          即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O.
          證法二：設A(x1,y1)，B(x2,y2).
          因為BC∥x軸，所以C（-，y2）.
          因為A、B在拋物線上，
          所以y12=2px1,y22=2px2.
          又因為直線AB過焦點F，
          所以kAF=kBF，即=.
          所以.
          所以y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2).
          因為y1≠y2，所以y1y2=-p2.
          因為kOC=====kOA,
          所以直線AC經(jīng)過原點O.
          證法三：因為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為（,0），
          所以設直線AB的方程為x=ky+.
          由
          消去x得y2-2pky-p2=0.
          所以yA·yB=-p2.
          因為A（,yA）,C(-,yB),即C(-,-)，
          所以直線AC的方程為=.
          化簡得y=x.
          顯然，原點O適合此方程，所以原點O在直線AC上.
          證法四：設B（a，b），則C(-,b)，F(xiàn)(,0),
          所以直線BF的方程為y(a-)=b(x-)，
          直線OC的方程為y=-x.
          所以
          消y得-x(a-)=b(x-).
          所以所以A′(，-).
          因為B在拋物線y2=2px上，所以b2=2ap.
          所以A′(，-).
          所以(-)2==2p·.
          所以A′在拋物線y2=2px上.所以A′與A重合，即直線AC經(jīng)過原點O.
          證法五：如下圖所示，記x軸與拋物線準線l的交點為E，過A作AD⊥l，D是垂足，則AD∥FE∥BC.
          連結(jié)AC，與EF相交于點N，則，.
          根據(jù)拋物線的性質(zhì),得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|.
          所以|EN|===|NF|,
          即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O.
          證法六：如下圖所示，
          設準線交x軸于點E，過A點作AM⊥x軸于M.
          設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則C（-,y2）,所以=.
          由證法二知y1=，
          又，
          所以=.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.
          故A、O、C三點共線，即直線AC過原點O.

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：設計選修數(shù)學－1-1蘇教版 蘇教版
				題型：047
			
          

						
          

          設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，直線l過點F交拋物線于A、B兩點，點M在拋物線的準線上，O為坐標原點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
          

          (1)求證：y1y2＝－p2；
          

          (2)求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：全優(yōu)設計選修數(shù)學－2-2蘇教版 蘇教版
				題型：047
			
          

						
          

          設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，證明直線AC經(jīng)過原點O．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：浙江省杭州學軍中學2009屆高三第十次月考數(shù)學(文)試題
				題型：044
			
          

						
          

          設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)兩點，M是拋物線的準線上的一點，O是坐標原點，若直線MA、MF、MB的斜率分別記為：kMA＝a、kMF＝b、kMB＝c，(如圖)
          

          

          (1)若y1y2＝－4，求拋物線的方程；
          

          (2)當b＝2時，求證：a＋c為定值．

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2010-2011學年云南省高二下學期期末考試理科數(shù)學卷
				題型：填空題
			
          

						
          設拋物線y2＝2Px（P＞0）的焦點為F，點A(0，2).若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為        .
          


           
          

			
          

			
          
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