Question

（2010•昆明模擬）已知函數(shù)f（x）=（x³+ax）e^x，x∈R．
（I）若a=0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可知f^′（x）≤0（x∈（0，1）），通過分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求一個(gè)函數(shù)的最值問題即可．

解答：解：（I）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³e^x
∴f'（x）=3x²e^x+x³e^x=x²（3+x）e^x，
令f^′（x）=0，解得x=0，或-3．
①當(dāng)x＞-3時(shí)，則f'（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜-3時(shí)，則f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）=x³e^x在（-∞，-3）為減函數(shù)，在（-3，+∞）為增函數(shù)．
（II）∵f'（x）=（3x²+a）e^x+（x³+ax）e^x=（x³+3x²+ax+a）e^x
由已知得（x³+3x²+ax+a）e^x≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≤-

x3+3x2

x+1

在（0，1）上恒成立．
令g(x)=-

x3+3x2

x+1

(x∈(0，1))．
則g′(x)=-

2x(x2+3x+3)

(x+1)2

=-

2x[(x+ 3 2 )2+ 3 4 ]

(x+1)2

．
∵x∈（0，1），∴g^′（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)．
∴a≤g（1）=-2．
故a≤-2．

點(diǎn)評：熟練掌握利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及使用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．