Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，在相鄰最值點（x₀，2），[x₀+

3

2

，-2]（x₀＞0）上f（x）分別取得最大值和最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）=a存在于[0，7/2]上的解的和，其中a為滿足-2＜a＜2的已知常數．

Answer 1

分析：（1）由題意求出A，T再求ω，利用圖象過（0，1）求出φ，求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）=a存在于[0，7/2]上的解的和，其中a為滿足-2＜a＜2的已知常數．需要分類：-2＜a＜1時1≤a＜2，借助圖象，利用對稱性、以及三角方程解答即可．

解答：解：（1）函數f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，
在相鄰最值點（x₀，2），[x₀+

3

2

，-2]（x₀＞0）上f（x）分別取得最大值和最小值．
所以A=2，T=3，ω=

2π

3

，（0，1）在函數圖象上，
所以1=2sinφ，φ=

π

6

所以函數的解析式：f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)
（2）當-2＜a＜1時，方程f（x）=a存在于[0，

7

2

]上的解的和為4，
當1≤a＜2時：由2sin(

2π

3

x+

π

6

)=a
解得x=

3

2π

arcsin

a

2

-

π

6

=

3

2π

arcsin

a

2

-

π

6

×

3

2π

 解的和為：

15

4

+

3

2π

arcsin

a

2

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值，函數的解析式，考查計算能力，視圖能力，是基礎題．