Question

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率是，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)為A，P是橢圓上且位于第一象限的任意一點(diǎn)，AB∥OP，點(diǎn)B在橢圓上，R為直線AB與y軸的交點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的離心率結(jié)合長(zhǎng)軸長(zhǎng)及c²=a²-b²即可求得答案；
（2）由橢圓方程求出A的坐標(biāo)，設(shè)出P、B、R的坐標(biāo)，由P和點(diǎn)B都在橢圓上得兩點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，寫出直線AB的方程，把R的坐標(biāo)代入AB的方程得到B和R的坐標(biāo)的關(guān)系式，然后運(yùn)用坐標(biāo)的關(guān)系分別表示出等式的左右兩邊，從而問(wèn)題得到證明．
解答：（1）解：根據(jù)題設(shè)，可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
則離心率，由橢圓定義，得2a=4
解得a=2，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）證明：由題意得A（-2，0），設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（0，y₃），其中x₁＞0，y₁＞0，
點(diǎn)P和點(diǎn)B都在橢圓上，則有①
②
由AB∥OP，有，
即③
由x₁＞0，y₁＞0可知x₂≠-2．
AB直線方程為：y-0=k_AB[x-（-2）]，即．
把R（0，y₃）代入，得
所以有，，，
可得：④
⑤
由①，②，③得：⑥
由①，⑤得：⑦
由②，④得：⑧
由⑦，⑥得：⑨
由⑧，⑨可證得：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了代值思想方法，解答此題的關(guān)鍵是在設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)后能找到各坐標(biāo)之間的關(guān)系，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．