Question

某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為400平方米的三級(jí)污水處理池，平面圖如圖所示，池外圈建造單價(jià)為每米200元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米250元，池底建造單價(jià)為每平方米80元（池壁的厚度忽略不計(jì)且池?zé)o蓋）．若受場(chǎng)地限制，長(zhǎng)與寬都不能超過25米，則污水池的最低造價(jià)為多少？

Answer 1

分析：設(shè)污水池的寬為x米，則長(zhǎng)為

400

x

米，求出池外的造價(jià)；求出中間兩條隔墻的造價(jià)；求出池底的造價(jià)；將三個(gè)造價(jià)加起來(lái)即為總造價(jià)；據(jù)長(zhǎng)、寬都都不能超過25米，求出定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在定義域上的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)污水池的寬為x米，則長(zhǎng)為

400

x

米，總造價(jià)為y，則  …（2分）
y=200(2x+2•

400

x

) +2•250•x+80-400
=900x+

160000

x

+32000…（6分）
依題意，

0＜x≤25 0＜ 400 x ≤25

，得16≤x≤25，…（9分）
∵y′=900-

160000

x2

=

100(3x-40)(3x+40)

x2

＞0
∴函數(shù)y=900x+

160000

x

+32000在區(qū)間[16，25]上為增函數(shù)．…（12分）
∴ymin=900×16+

160000

16

+32000=56400     …（13分）
所以，當(dāng)污水池的長(zhǎng)為25米，寬為16米時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為56400元．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問題中的最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)最值、利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值