Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當時,求在區(qū)間上的最大值和最小值;

(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖像恒在直線下方,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)判斷出其大于零得到函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以為最小值， 為最大值，即可求出；（2）令，則的定義域為.證在區(qū)間上恒成立即得證.求出分區(qū)間討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，利用極值求出的范圍即可.

試題解析：（1）當時， ， ；

對于，有，

所以在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以， ．

（2）令，則的定義域為．

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方的等價于在區(qū)間上恒成立．

∵ ，

①若，令，得極值點， ，

當，即時，在上有，

此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當，即時，同理可知， 在區(qū)間上是增函數(shù)，有，不合題意；

②若，則有，此時在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只需滿足，即，

由此求得的范圍是．

綜合①②可知，當時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．