Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源消耗，可在建筑物的外墻加裝不超過10厘米厚的隔熱層．某幢建筑物要加裝可使用20年的隔熱層．每厘米厚的隔熱層的加裝成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：厘米）滿足關(guān)系：C（x）=

k

3x+5

．若不加裝隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層加裝費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達式，并寫f（x）=的定義域；
（2）隔熱層加裝厚度為多少厘米時，總費用f（x）=最��？并求出最小總費用．

Answer 1

分析：（1）由每年的能源消耗費用為C（x），當(dāng)x=0時，可得k的值；又加裝隔熱層的費用為C₁（x），所以總費用函數(shù)f（x）可表示出來，其定義域可得；
（2）對函數(shù)f（x）變形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答：解：（1）由已知，當(dāng)x=0時，C（x）=8，即

k

5

=8，所以k=40，
所以C（x）=

40

3x+5

，
又加裝隔熱層的費用為：C₁（x）=6x，
所以f（x）=20•C（x）+C₁（x）=20×

40

3x+5

+6x=6x+

800

3x+5

，
且f（x）定義域為[0，10]．
（2）f（x）=6x+

800

3x+5

=6x+

800

3(x+ 5 3 )

=6(x+

5

3

)+

800

3(x+ 5 3 )

-10≥2

6×800 3

-10=70，
當(dāng)且僅當(dāng)6(x+

5

3

)=

800

3(x+ 5 3 )

，即(x+

5

3

)2=

800

18

，即x+

5

3

=

20

3

，即x=5時取等號．
所以，當(dāng)隔熱層加裝厚度為5厘米時，總費用f（x）最小，最小總費用為70萬元．

點評：本題考查了平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，在利用平均值不等式求最值時，要注意等號成立的條件是什么．