Question

已知函數(shù)f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式將其寫成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b
=

1

2

asin2x-

3

a

1+cos2x

2

+

3

2

a+b
=asin（2x-

π

3

）+b （4分）
（2）令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]， k∈Z． （6分）
令 2x-

π

3

=kπ，解得x=

π

6

+

kπ

2

，
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為(

π

6

+

kπ

2

，b)，k∈Z，（8分）
（3）∵當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
故-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1 （10分）
f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，
又∵a＞0，∴

a+b= 3 - 3 2 a+b=-2

解得

a=2 b= 3 -2

  （12分）