Question

如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y（單位：米）的矩形，上部是斜邊長為x的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米．
（Ⅰ）求x，y的關(guān)系式，并求x的取值范圍；
（Ⅱ）問x，y分別為多少時用料最�。�

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角形和矩形面積公式得出x和y的關(guān)系式，確保有意義求出x的范圍得到定義域；
（II）根據(jù)解析式進而表示出框架用料長度為根據(jù)均值不等式求得l的最小值，求得此時的x和y．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：x•y+

1

2

x•

x

2

=8(x＞0，y＞0)，
∴y=

8

x

-

x

4

，
∵y=

8

x

-

x

4

＞0
∴0＜x＜4

2

（6分）
（Ⅱ）設框架用料長度為l，則l=2x+2y+

2

x(9分)
=(

3

2

+

2

)x+

16

x

≥4

6+4 2

(=8+4

2

)(12分)
當且僅當(

3

2

+

2

)x=

16

x

，x=8-4

2

，y=2

2

，滿足0＜x＜4

2

(15分)
答：故當x為2.343m，y為2.828m時，用料最�。�

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．注意取得最值時的條件是否成立，屬于基礎題．