Question

如圖所示，在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

箱子底邊長(zhǎng)取40 cm時(shí)，容積最大，最大容積為16 000 cm³.

解析試題分析：設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm，則箱子高h(yuǎn)＝cm.
箱子容積V＝V(x)＝x²h＝ (0<x<60)．
求V(x)的導(dǎo)數(shù)，得V′(x)＝60x－x²＝0，
解得x₁＝0(不合題意，舍去)，x₂＝40.
當(dāng)x在(0,60)內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)V′(x)的正負(fù)如下表：

x	(0,40)	40	(40,60)
V′(x)	＋	0	－

因此在x＝40處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值．
將x＝40代入V(x)
得最大容積V＝40²×＝16 000(cm³)．
所以箱子底邊長(zhǎng)取40 cm時(shí)，容積最大，最大容積為16 000 cm³.
考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)模型，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值。
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于函數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究構(gòu)建函數(shù)函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。關(guān)于函數(shù)應(yīng)用問題的考查，在高考題中往往是“一大兩小”。構(gòu)建函數(shù)模型的步驟“審清題意、設(shè)出變量、確定函數(shù)、求解答案、寫出結(jié)語(yǔ)”。本題利用均值定理，確定函數(shù)的最值。