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        1. 已知拋物線C:y2=4x,一動(dòng)橢圓C1的左焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合.

          (1)點(diǎn)P在橢圓C1的短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F的連線上,且,求點(diǎn)P的軌跡C2的方程;

          (2)若直線x+y+m=0與點(diǎn)P的軌跡C2交于兩點(diǎn)M、N,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,使OM⊥ON成立.若存在,求出m的值,若不存在,說(shuō)明理由.

          解:(1)由拋物線方程y2=4x得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)橢圓中心為O′(t,0),則其半焦距為c=t-1,又左準(zhǔn)線方程為x=-1,則t+1=,∴a2=(t+1)c=t2-1,

          ∴b2=a2-c2=(t2-1)-(t-1)2=2t-2.可取橢圓短軸上一個(gè)端點(diǎn)B(t,),

          其中t>1,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),,

          ∴λ==2.

          消去t得y2=(x-1),x>1,即為點(diǎn)P的軌跡C2的方程.                             

          (2)由3y2+2y+2m+2=0.此方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根,

          解得

          即m<且m≠-1.                                                           

          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使,則x1x2+y1y2=0,

          又x1=-y1-m,x2=-y2-m,則有2y1y2+m(y1+y2)+m2=0.

          而y1+y2=,y1y2=,代入上式得:m+m2=0,即3m2+2m+4=0,

          此方程無(wú)實(shí)數(shù)解,故不存在m使.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn). A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
          (Ⅰ)求拋物線C的方程;
          (Ⅱ)過(guò)M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
          (Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線,垂足為Q.
          (1)若點(diǎn)P(0,4)與點(diǎn)F的連線恰好過(guò)點(diǎn)A,且∠PQF=90°,求拋物線方程;
          (2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知拋物線C:y2=2Px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
          (Ⅰ)求拋物線C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
          16(1-kb)k2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知拋物線C:y2=4x,點(diǎn)M(m,0)在x軸的正半軸上,過(guò)M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
          (I)若m=1,且直線l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
          (II)問(wèn)是否存在定點(diǎn)M,不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng),使得
          1
          |AM|2
          +
          1
          |BM|2
          恒為定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過(guò)C的焦點(diǎn),且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若
          MA
          MB
          =0,則k=( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案