Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)．

【解析】

(Ⅰ)由題意，求得，令，得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為直線y＝a與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而求解的取值范圍；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，分類討論，即可確定函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(Ⅰ)由題意，求得，因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

令，則，即.

設(shè)，則直線y＝a與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，由，得ln x＜0，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以a的取值范圍是．

(Ⅱ)因?yàn)?/span>，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，為直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

由(Ⅰ)可知，，且，

因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，

則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，，則，

所以在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，，則

①當(dāng)，即時(shí)，.

又，則，所以

.

此時(shí)在和內(nèi)各有1個(gè)零點(diǎn)，且.

②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，且.

③當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，且.

綜上分析，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)．