Question

（1）求函數(shù)f（x）=2sin（π-x）sin（

π

2

-x）+2

3

sin²x-

3

的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，并且α，β∈（0，

π

2

），求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)解析式先利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，即可得到函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）由tanβ的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式求出tan2β的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（α+2β），將各自的值代入求出tan（α+2β）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+2β的度數(shù)．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x+2

3

•

1-cos2x

2

-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）∵tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

3

4

，
∴tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
∵tanα=

1

7

＜1，tanβ=

1

3

＜1，且α，β∈（0，

π

2

），
∴0＜α＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，
∴0＜α+2β＜

3π

4

，
∴α+2β=

π

4

．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．