Question

已知橢圓C中心在原點，一個焦點為F（-2，0），且長軸長與短軸長的比是2：

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為

3

2

的直線l，使直線l與橢圓C有公共點，且原點O與直線l的距離等于4；若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知c=2，且

a

b

=

2

3

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設存在斜率為

3

2

的直線方程y=

3

2

x+m，聯(lián)立

x2 16 + y2 12 =1 y= 2 3 x+m

，得3x²+3mx+m²-12=0，由題設條件利用根的判別式和點到直線的距離公式能推導出直線l不存在．

解答：解：（1）∵橢圓C中心在原點，一個焦點為F（-2，0），
且長軸長與短軸長的比是2：

3

，
∴c=2，且

a

b

=

2

3

，a²=b²+c²，
∴

4

3

b2=b2+4，解得b²=12，∴a²=16，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假設存在斜率為

3

2

的直線l，使直線l與橢圓C有公共點，且原點O與直線l的距離等于4，
設l的方程為y=

3

2

x+m，
聯(lián)立

x2 16 + y2 12 =1 y= 2 3 x+m

，消去y并整理，得3x²+3mx+m²-12=0，
∵直線l與橢圓C有公共點，
∴△=9m²-12（m²-12）≥0，
解得-4

3

≤m≤4

3

，
∵原點O與直線l的距離等于4，
∴d=

|m|

9 4 +1

=4，∴m=±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，
∴假設不成立，故直線l不存在．

點評：本題考查橢圓方程的求法，判斷滿足條件的直線是否存在，具體涉及到橢圓的簡單性質、點到直線的距離公式、韋達定理等知識點，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．