Question

已知以點(diǎn)P為圓心的圓過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，4），AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C、D，且．
（1）求圓P的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q在圓P上，試探究使△QAB的面積為8的點(diǎn)Q共有幾個？并說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閗_AB=1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），所以直線CD的方程為y-2=-（x-1），
即x+y-3=0．（3分）
設(shè)圓心P（a，b），則由P在CD上得a+b-3=0．①
又直徑，所以，所以（a+1）²+b²=40．②
①代入②消去a得-4b-12=0，解得b=6或b=-2．
當(dāng)b=6時，a=-3；當(dāng)b=-2時，a=5，所以圓心P（-3，6）或P（5，-2），所以圓P的方程為（x+3）²+（y-6）²=40或．（8分）
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94592.png' />=，所以當(dāng)△QAB面積為8時，點(diǎn)Q到直線AB的距離為．（10分）
又圓心到直線AB的距離為，圓P的半徑，且，
所以圓上共有兩個點(diǎn)Q，使△QAB的面積為8．（15分）
分析：（1）因?yàn)閗_AB=1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），所以直線CD的方程為y-2=-（x-1），設(shè)圓心P（a，b），則由P在CD上得a+b-3=0，由此能求出圓P的方程．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94592.png' />=，所以當(dāng)△QAB面積為8時，點(diǎn)Q到直線AB的距離為．又圓心到直線AB的距離為，圓P的半徑，且，由此知圓上共有兩個點(diǎn)Q，使△QAB的面積為8．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意直線和圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．