Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

an-2

2an-3

，n∈N*，a1=

1

2

．
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄；（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)a_n，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由遞推公式，令n=2，3，4易得；
（Ⅱ）通過(guò)a₂，a₃，a₄猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，要注意分兩步證明．

解答：解：（Ⅰ）由遞推公式，得a2=

a1-2

2a1-3

=

1 2 -2

2• 1 2 -3

=

3

4

，（3分）
（Ⅱ）猜想：an=

2n-1

2n

．（5分）
證明：①n=1時(shí)，由已知，等式成立．（6分）
②設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立．即ak=

2k-1

2k

．（7分）
所以ak+1=

ak-2

2ak-3

=

2k-1 2k -2

2• 2k-1 2k -3

=

2k-1-4k

4k-2-6k

=

2k+1

2k+2

=

2(k+1)-1

2(k+1)

，
所以n=k+1時(shí)，等式成立．（9分）
根據(jù)①②可知，對(duì)任意n∈N^*，等式成立．即通項(xiàng)an=

2n-1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查推理和數(shù)學(xué)歸納法的證明方法及思路．