Question

如圖，點(diǎn)P是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，-1），PA與y軸于點(diǎn)N，PB與x軸交于點(diǎn)M，設(shè)，（x，y∈R），P（cosθ，sinθ）．
（1）求點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)（用θ表示）；
（2）求x+y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可設(shè)N（0，t），由P、N、A三點(diǎn)共線，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)表示可有1=λ（cosθ+1），t=λsinθ，可求M，N的坐標(biāo)
（2）由代入可得：，，聯(lián)立可求x+y，結(jié)合θ的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
解答：解：（1）因?yàn)镻A與y軸交與于點(diǎn)N，可設(shè)N（0，t），
由P、N、A三點(diǎn)共線，設(shè)，λ∈R①
又A（-1，0），P（cosθ，sinθ），所以，，代入①，
有1=λ（cosθ+1），t=λsinθ，
因?yàn)辄c(diǎn)P是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，所以cosθ＞0，sinθ＞0，且，
所以，此時(shí)，…4分
同理．                             …7分
說(shuō)明：可以用直線方程或比例等其他方法求解
（2）由（1）知，，，…9分
代入，得：，整理得sinθ•x+（1+sinθ）y=1+sinθ②，整理得（1+cosθ）x+cosθ•y=1+cosθ③
②+③，解得：，…12分
由，知，
所以，
即，故x+y的取值范圍為．   …15分
說(shuō)明：可以解得
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量共線定理的應(yīng)用，向量的坐標(biāo)表示及向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，此題對(duì)學(xué)生的基本功要求較高．