Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長的3，側(cè)棱AA₁=D是CB延長線上一點，且BD=BC.

   （Ⅰ）求證：直線BC₁//平面AB₁D；

   （Ⅱ）求二面角B₁—AD—B的大小；

   （Ⅲ）求三棱錐C₁—ABB₁的體積.

Answer 1

解析:

（Ⅰ）證明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四邊形BDB₁C₁是平行四邊形， ∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直線BC₁//平面AB₁D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）解：過B作BE⊥AD于E，連結(jié)EB₁， ∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

∴∠B₁EB是二面角B₁—AD—B的平面角，  ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中點，

在Rt△B₁BE中，∴∠B₁EB=60°。即二面角B₁—AD—B的大小為60°…………10分

（Ⅲ）解法一：過A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF= 

 即三棱錐C₁—ABB₁的體積為…………15分

   解法二：在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

        即為三棱錐C₁—ABB₁的體積．