Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=1-nan(n∈N*)．
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由S_n與a_n的關系，我們從n=1依次代入整數值，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由a₁，a₂，a₃，a₄的值與n的關系，我們歸納推理出數列的通項公式，觀察到它們是與自然數集相關的性質，故可采用數學歸納法來證明．

解答：解：（1）計算得a1=

1

2

；a2=

1

6

；a3=

1

12

；a4=

1

20

．
（2）猜測：an=

1

n(n+1)

．下面用數學歸納法證明
①當n=1時，猜想顯然成立．
②假設n=k（k∈N^*）時，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．
那么，當n=k+1時，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
從而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1時，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．

點評：本題（2）中的證明要用到數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．