Question

(本小題滿分12分)
已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足： .
（I）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得 為常數(shù).若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（I）軌跡的方程為
（II）當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，,當(dāng)時(shí).
故，在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0) ,使得 為常數(shù).

解：（Ⅰ）   
（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B共線時(shí)也符合上述結(jié)論）
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線
所以，軌跡G的方程為 。     
（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)C(m,0),使為常數(shù).
①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為
 
由題意知，
設(shè)，則， 
于是
∴
＝     
＝


要是使得 為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí) 
②當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，,當(dāng)時(shí).
故，在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0) ,使得 為常數(shù).