Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-mx
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f′（x）=e^x-1，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，由此能求出當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，得m=

ex-lnx+x2

x

，令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，由此能求出函數(shù)g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．
（3）由（1）可得e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，則x=

k

n

-1，從而e k-n≥(

k

n

)n，分別令k=1，2，3，..，n．利用等比數(shù)列求和公式和放縮法，可證明結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=

ex-lnx+x2

x

，
令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，
則h′（x）=

(x-1)ex+lnx+x2-1

x2

，
觀察得x=1時(shí)，h′（x）=0．
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是（e+1，+∞）．
（3）由（1）知e^x-x≥1，∴e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，則x=

k

n

-1，
∴e 

k

n

-1≥

k

n

，∴e k-n≥(

k

n

)n
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n≤e^1-n+e^2-n+…+1=

1-( 1 e )n

1- 1 e

＜

e

e-1

所以(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．        （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最小值的求法、函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)求m的兩個(gè)取值范圍、等比數(shù)列求和公式，用放縮法證明不等式．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．