Question

(07年四川卷理) (14分)

設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)x=6時(shí),求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);

(Ⅱ)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,證明＞

(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

本題考察函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法。考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識(shí)。

解析：（Ⅰ）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是

（Ⅱ）證法一：因

證法二：因

而

故只需對(duì)和進(jìn)行比較。

令，有

由，得

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值

故當(dāng)時(shí)，，

從而有，亦即

故有恒成立。

所以，原不等式成立。

（Ⅲ）對(duì)，且

有

又因，故

∵，從而有成立，

即存在，使得恒成立。