Question

以下四個(gè)命題：
①在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB，則B=

π

4

；
②設(shè)

a

，

b

是兩個(gè)非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得

b

=λ

a

；
③方程sinx-x=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解有且僅有一個(gè)；
④a，b∈R且a³-3b＞b³-3a，則a＞b；
其中正確的是

①②③④

．

Answer 1

分析：分別根據(jù)條件判別各命題的真假即可．①利用正弦定理化簡(jiǎn)求角．②由|

a

•

b

|=|

a

||

b

|得出向量的夾角，根據(jù)夾角判斷是否共線．③構(gòu)造函數(shù)y=sinx-x，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)是單調(diào)的即可．④利用作差法進(jìn)行判斷．

解答：解：①在三角形中，根據(jù)正弦定理可知bsinA=acosB等價(jià)為sinAsinB=sinAcosB，所以sinB=cosB，即B=

π

4

，所以正確．
②由|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，得|cos＜

a

，

b

＞|=1，所以

a

，

b

的夾角為0或π，所以

a

，

b

共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得

b

=λ

a

，所以正確．
③設(shè)y=sinx-x，則y'=cosx-1≤0，所以函數(shù)y=sinx-x在定義域上單調(diào)遞減．因?yàn)閒（0）=0，所以方程sinx-x=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解有且僅有一個(gè)，所以正確．
④因?yàn)閍³-b³+3a-3b=(a-b)(a2+ab+b2+3)=(a-b)[(a+

1

2

b)2+

3

4

b2+3]，所以若a³-3b＞b³-3a，則必有a＞b成立，所以正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．