Question

已知實(shí)數(shù)a≤0，函數(shù)f（x）=|x|（x-a）．
（I）討論f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，

1

2

]的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷．
（Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，此時函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a＜0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，
此時函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）．
當(dāng)a＜0時，f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，
此時函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，

a

2

），（0，+∞），函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[

a

2

，0]．
（Ⅲ）①當(dāng)

a

2

≤-1即a≤-2時，f(-1)=-1-a，f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

，
當(dāng)a≤-

5

2

時，f(-1)≥f(

1

2

)，此時函數(shù)f（x）的最大值為f（-1）=-1-a．
當(dāng)-

5

2

＜a≤-2時，f(-1)＜f(

1

2

)，此時函數(shù)f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．
②當(dāng)-1＜

a

2

≤0即-2＜a≤0，f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

，f(

a

2

)=-

a

2

?|

a

2

|=

a2

4

，f(

1

2

)-f(

a

2

)=

1

4

-

a

2

-

a2

4

=-

1

4

(a+1)2+

1

2

＞0，
所以f(

1

2

)＞f(

a

2

)，所以當(dāng)-2＜a≤0時，函數(shù)f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．
綜上，當(dāng)a≤-

5

2

時，函數(shù)的最大值為f（-1）=-1-a．
當(dāng)-

5

2

＜a≤0時，函數(shù)f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．