Question

如圖，F是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x＝4是橢圓C的右準線，F到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）P(，±).

解析試題分析：（1）求橢圓標準方程，一般利用待定系數法，利用兩個獨立條件確定a,b的值. 設橢圓C的方程為，由已知，得，∴∴b＝．所以橢圓C的方程為．（2）等腰三角形這個條件，是不確定的，首先需要確定腰. 由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與FM相等．因此只有FM＝PM，然后結合點在橢圓上條件進行列方程求解：設P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y²＝16－8x＋x²，又由，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，∴x²－8x＋4＝0．∴7x²－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．∴P(，±)．綜上，存在點P(，±)，使得△PFM為等腰三角形．
試題解析：解：（1）設橢圓C的方程為
由已知，得，∴，∴b＝．所以橢圓C的方程為
（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．
①若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，
∴PF不可能與FM 相等．
②若FM＝PM，設P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y²＝16－8x＋x²，又由，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，
∴x²－8x＋4＝0．∴7x²－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．
∴P(，±)．綜上，存在點P(，±)，使得△PFM為等腰三角形．
考點：橢圓方程，橢圓第二定義