Question

如圖所示，已知D為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，⊙O₁經(jīng)過點(diǎn)B，D，交AB于另一點(diǎn)E，⊙O₂經(jīng)過點(diǎn)C，D，交
AC于另一點(diǎn)F，⊙O₁與⊙O₂交于點(diǎn)G．
（1）求證：∠EAG=∠EFG；
（2）若⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，AC=10，AG切⊙O₂于G，求線段AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接兩個(gè)圓的公共弦GD，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，易得AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，即∠AEG+∠AFG=180°，再由圓內(nèi)接四邊形的判定定理，易得A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，進(jìn)而再由圓周角定理的推論得到：∠EAG=∠EFG；
（2）由已知中⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，由垂徑定理，我們可以求出FC的長(zhǎng)，結(jié)合AC=10，AG切⊙O₂于G，由切割線定理，我們易求出AG的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接GD，因?yàn)樗倪呅蜝DGE，CDGF分別內(nèi)接于⊙O₁，⊙O₂，
∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，
又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°．
即A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠EAG=∠EFG．
（2）因?yàn)椤袿₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，
所以由垂徑定理知FC=2

52-32

=8，又AC=10，
∴AF=2，∵AG切⊙O₂于G，∴AG²=AF•AC=2×10=20，AG=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理，切割線定理，其中（1）中關(guān)鍵是判斷出A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，（2）中關(guān)鍵是由垂徑定理求也FC的長(zhǎng)．