Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）其中f（x）=x²-4x+2
（1）若{a_n}（2）的公差d＞0，求通項(xiàng)公式a_n（3）
（4）在（1）的條件下，若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+2an-n+4
（5），求證：b_n•b_n+2＜b²_n+1（6）

Answer 1

分析：（1）a₁=f（x+1）=x²-2x-1，a₂=f（x-1）=x²-6x+7由{a_n}為等差數(shù)列，能夠求出通項(xiàng)公式a_n．
（2）由a_n=2n-4，知b_n+1-b_n=2ⁿ，b_n-1-b_n-2=2^n-2，…，b₂-b₁=2，累加得b_n=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1，由此能夠證明b_n•b_n+2＜b²_n+1．

解答：（1）解：a₁=f（x+1）=x²-2x-1，
a₂=f（x-1）=x²-6x+7，
由{a_n}為等差數(shù)列，
得2a₂=a₁+a₃
∴2x²-8x+6=0，
∴x=1或x=3…（2分）
x=1時(shí)a₁=-2a₂=0d=2＞0合題意，
∴a_n=2n-4x=3時(shí)a₁=2a₂=0d=-2，舍去
∴a_n=2n-4…（5分）
（2）證明：由（1）知a_n=2n-4，
從而b_n+1-b_n=2ⁿ，
b_n-1-b_n-2=2^n-2，…，b₂-b₁=2，
累加得　b_n=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1…（8分）
因?yàn)閎_n•b_n+2-b²_n+1
=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）
=-2ⁿ＜0．
所以b_n•b_n+2＜b²_n+1…（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和證明b_n•b_n+2＜b²_n+1，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．