Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過右頂點(diǎn)A 的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且B（-1，-3）．
（1）求橢圓C和直線l的方程；
（2）若圓D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與直線l_AB相切，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，及B的坐標(biāo)與幾何量之間的關(guān)系，建立方程組，即可求得橢圓C和直線l的方程；
（2）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，即可求得實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（1）由題意，

c a = 6 3 9 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，∴

a2=12 b2=4

，∴橢圓C的方程為

y2

12

+

x2

4

=1；
∵右頂點(diǎn)A（2，0），B（-1，-3）
∴直線l的方程為x-y-2=0；
（2）圓D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-m）²+（y+2）²=8
∵圓D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與直線l_AB相切
∴

|m|

2

=2

2

∴m=±4

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線的方程，考查直線與圓相切，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．