Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）設E、F分別為AB₁、BC₁的中點，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：A₁C₁⊥AB；
（3）求點B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EF∥平面ABC，關鍵在平面ABC內找一直線與EF平行，根據中位線可知EF∥A₁C₁而A₁C₁∥AC則EF∥AC；
（2）欲證A₁C₁⊥AB，可先證A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，根據線面垂直的判定定理可知只需證AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥AA₁；
（3）過A₁作A₁G⊥AC₁于點G，先證A₁G⊥平面ABC₁，從而得到A₁G即為所求的距離，在三角形中求出該距離即可．
解答：（1）證明：∵E、F分別為AB₁、BC₁的中點，
∴EF∥A₁C₁．∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）證明：∵AB=CC₁，∴AB=BB₁．又三棱柱為直三棱柱，∴四邊形ABB₁A₁為正方形．連接A₁B，則A₁B⊥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（3）解：∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁．
∴A₁到平面ABC₁的距離等于B₁到平面ABC₁的距離．
過A₁作A₁G⊥AC₁于點G，
∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁G．從而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即為所求的距離，即A₁G=，
∴點B₁到平面ABC₁的距離．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點、線、面間的距離計算等有關知識，屬于基礎題．