Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-

kx-a

ax

-lna(x＞0，a＞0且a為常數(shù))．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）當(dāng)k=0時(shí)，求證：f（x）＞0對(duì)一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k為常數(shù)，求證：f（x）的極小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)小于等于0，判斷出函數(shù)單調(diào)性．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷出根左右兩邊的符號(hào)，求出極小值，判斷出極小值的符號(hào)得證．
（3）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷根左右兩邊的符號(hào)，求出極小值，判斷出極小值是與a無關(guān)的常數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=lnx-

1

a

•x

1

2

+

a

x-

1

2

-lnx
∵f′(x)=

1

x

-

1

2 a

•x-

1

2

-

a

2

x-

3

2

=-

( x - a )2

2 ax x

≤0
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（2）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=lnx+

a

x-

1

2

-lna
f′(x)=

1

x

-

a

2x x

=

2 x - a

2x x

令f′(x)=0得x=

a

4

當(dāng)0＜x＜

a

4

時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是單調(diào)減函數(shù)
當(dāng)x＞

a

4

時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是單調(diào)增函數(shù)
∴當(dāng)x=

a

4

時(shí)，f(x)有極小值f(

a

4

)=2-2ln2
∵e＞2
∴f(x)的極小值f(

a

4

)=2(1-ln2)=2ln

e

2

＞0
∴f（x）＞0恒成立
（3）∵f(x)=lnx-

k

a

•x

1

2

+

a

x-

1

2

-lna
∴f′(x)=

-kx+2 ax -a

2 ax x

令f′( x)=0得kx-2

ax

 +a=0
解得

x

=

a

1- 1-k

k

（

x

=

a

1+ 1-k

k

舍去）
∴x=

a

(1+ 1-k )2

當(dāng)0＜x＜

a

(1+ 1-k )2

，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)
當(dāng)x＞

a

(1+ 1-k )2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)
因此，當(dāng)x=

a

(1+ 1-k )2

f（x）有極小值
令x0=

a

(1+ 1-k )2

∵f(x0)=ln

x0

a

-k

x0 a

+

a x0

而

x0

a

=

1

(1+ 1-k )2

是與a無關(guān)的常數(shù)
∴lnx0，-k

x0 a

，

a x0

均與a無關(guān)．
∴f（x₀）是與a無關(guān)的常數(shù)．
則f（x）的極小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的極小值時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，但一定注意判斷根左右兩邊的符號(hào)是否異號(hào)．