Question

（本題滿分12分）

如圖，已知橢圓的長軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長到點(diǎn)使得，連接并延長交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

 

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）直線與以為直徑的圓相切.

【解析】(1)此方程表示過定點(diǎn)的直線系，可以先確定其定點(diǎn)，即可確定b的值，然后根據(jù)離心率，可以求出a,進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2) 設(shè)，則.，

，

點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)在以為直徑的圓上.

然后證明的關(guān)鍵是,用坐標(biāo)表示出來，證明其數(shù)量積等于即可.

解：（1）將整理得，解方程組得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)為.

由離心率，得.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……5分

（1）   設(shè)，則.，

，

點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)在以為直徑的圓上.

又直線l的方程為.令，得.

又，的中點(diǎn)，

，直線與以為直徑的圓相切……12分