Question

根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)y=f（x），構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù)x∈A，計(jì)算出x₁=f（x）；
②若x∉A，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；
若x∈A，則輸出x₁，并將x₁反饋回輸入端，再計(jì)算出x₂=f（x₁）．并依此規(guī)律繼續(xù)下去．
現(xiàn)在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求證：對(duì)任意x∈A，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}；
（2）若，記（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在得條件下，證明（m∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x∈A，即0＜x＜1 時(shí)，由m∈N^*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故對(duì)任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，以此類推，可一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列；
（2）易證{b_n}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，從而求出，從而求出a_n=+1；
（3）要證，即證，只需證，當(dāng)m∈N^*時(shí)，利用二項(xiàng)式定理以及放縮法證明不等式即可．
解答：解：（1）當(dāng)x∈A，即0＜x＜1 時(shí)，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，
∴
又
∴
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故對(duì)任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，
 由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，
  x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；
以此類推，可一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列
（2）由x_n+1=f（x_n）=，可得，
∴，
即．
令b_n=a_n-1，則，
又，
所以{b_n}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
，即a_n=+1      
（3）要證，即證，只需證，
當(dāng)m∈N^*時(shí)，
有=++…+≥2，
因?yàn)�，�?dāng)k≥2 時(shí)，
由．
所以，當(dāng)m≥2時(shí)=++…+，
＜1+1+（1-）+（-）+…（-）=3-＜3
又當(dāng)m=1時(shí)，，
所以對(duì)于任意m∈N^*，都有
所以對(duì)于任意m∈N^*，都有證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及無(wú)窮數(shù)列的證明和二項(xiàng)式定理證明不等式，屬于難題．