Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

sinx

tanx

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）已知α∈(0，

π

2

)，且f(α)=

2

3

，求f(α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的定義可知

tanx≠0 x≠kπ+ π 2

解三角不等式可求函數(shù)的定義域
（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，f（x）=cosx，由f(α)=

2

3

可得cosα=

2

3

，結(jié)合α∈(0，

π

2

) 可求sinα，而f(α+

π

3

)可以利用兩角和的余弦公式可求．

解答：解：（1）由三角函數(shù)的定義可知

tanx≠0 x≠kπ+ π 2

∴

x≠kπ x≠kπ+ π 2

，k∈Z
函數(shù)的定義域?yàn)椋?span id="pwd7u23" class="MathJye">{x|x≠

kπ

2

，k∈Z}
（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，f（x）=cosx，
∵f(α)=

2

3

即cosα=

2

3

∵α∈(0，

π

2

)∴sinα=

5

3

∴f(α+

π

3

)=cos(α+

π

3

)=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

2

3

×

1

2

-

5

3

×

3

2

=

2- 15

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的定義域的求解，此問題容易漏掉對(duì)正切函數(shù)定義域的考慮，要注意；還考查了兩角和的三角公式在求解三角函數(shù)值中的應(yīng)用．