Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用離心率為

3

3

，求出a，b，c之間的關系，再利用直線l：x-y+2=0與圓相切求出b，即可求橢圓C₁的方程；
（2）把條件轉化為動點M到定點F₂（1，0）的距離等于它到直線l₁：x=-1的距離即可求出點M的軌跡C₂的方程．

解答：解：（1）由e=

3

3

，得

b2

a2

=1-e²=

2

3

；
由直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切，得

2

2

=|b|．
所以，b=

2

，a=

3

所以橢圓的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由條件，知|MF₂|=|MP|，
即動點M到定點F₂（1，0）的距離等于它到直線l₁：x=-1的距離，
由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是y²=4x

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對應方程的判別式為0求解．本題用的是第一種．