Question

若函數(shù)f（x）=3ax-2a+1在區(qū)間[-1，1]上無實數(shù)根，則函數(shù)g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-1，1）
• C、（-∞，-1）
• D、（-∞，-1），（1，+∞）

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=3ax-2a+1在區(qū)間[-1，1]上無實數(shù)根，由函數(shù)零點與方程根的關(guān)鍵，結(jié)合零點存在定理，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍，進而判斷出函數(shù)g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調(diào)性．

解答：解：函數(shù)f（x）=3ax-2a+1在區(qū)間[-1，1]上無實數(shù)根
則f（-1）•f（1）＞0
即（-5a+1）•（a+1）＞0
解得-1＜a＜

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則a-

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＜0，
則函數(shù)g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調(diào)性，與y=x³-3x+4的單調(diào)性相反
∵y′=3x²-3，則當(dāng)x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時，y=x³-3x+4為增函數(shù)
則函數(shù)g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
故選D

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)f（x）=3ax-2a+1在區(qū)間[-1，1]上無實數(shù)根，結(jié)合零點存在定理，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．