Question

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線垂直．

(1) 求實(shí)數(shù)的值；

(2) 求在 （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；

(3) 對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，，                            ………1分

由題意得：，即，                          ………3分

解得：。                                                     ………4分

（2）由（1）知：

①當(dāng)時(shí)，，

解得；解得或

∴在和上單減，在上單增，

由得：或，                             ………6分

∵　，

∴在上的最大值為。                                        ………7分

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

∴在上的最大值為。                                           ……9分

∴當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為。                          …………10分

（3）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，不妨設(shè)，則，且。

∵是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形

∴，即 （*）                           ……11分

是否存在等價(jià)于方程（*）是否有解。

①若，則，代入方程（*）得：，

即：，而此方程無實(shí)數(shù)解，從而，                     ………12分

∴，代入方程（*）得：，

即：，                                                 ………14分

設(shè)，則在恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，從而，則的值域?yàn)?sub>。

∴當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程（*）有解。

∴對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上。                               ……16分